例句
1.皎洁的月光映射到湖面上，闪耀着粼粼波光。
例句
1.这部剧虽不是大制作，但细节点能够映射出时代的变迁。
1. 映照；照射。
引
1. 峨眉，古今之胜境也。山中光怪若虹霓。然每见于云日映射之际，俗所谓佛光者是已。
明
《蜀都杂抄》
陆深
2. 〔阎王〕两眼碧光，与灯光相映射。
清
《此中人语·阎王》
程麟
3. 星光从院子里映射进厅堂里来。
《没有花的春天》第二章
碧野
2. 反射；反映。
引
1. 只是那垂死的家族制之苦痛，在几度回光返照的时候，映射在我心里，影响于我生活。
《饿乡纪程》二
瞿秋白
2. 二十世纪是个动的世纪。这种的精神映射于《女神》中最为明显。
《诗与批评·〈女神〉之时代精神》
闻一多
“映射”在数学中是一个重要的概念，指的是从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为到达域或陪域）的对应关系。具体来说，映射是一种规则或函数，它将定义域中的每个元素唯一地对应到到达域中的一个元素。这对应关系可以是一对一的（单射）、多对一的（满射）或一对多的（非满射），但必须确保定义域中的每个元素都有唯一的像。
例如，设集合A和集合B，映射f: A → B表示将集合A中的每个元素x通过某种规则映射到集合B中的唯一元素y，记作y = f(x)。在这个过程中，y称为x的像，而x称为y的原像。
映射在数学中有着广泛的应用，例如在函数、变换代数系统等领域中都有涉及。此外，映射的概念也扩展到了计算机科学、物理学和经济学等其他领域。
总结来说，映射是数学中描述两个集合之间元素对应关系的重要工具，它不仅帮助我们理解集合之间的关系，还在实际应用中扮演着关键角色。
在数学中，映射（或函数）是一种从一个集合到另一个集合的对应关系。据其性质，映射可以分为单射、满射和双射等不同类型。下面详细解释这些类型的定义及其区别：
单射是指对于任意两个不同的元素 $x_1$ 和 $x_2$ 在集合 $A$ 中，如果 $f(x_1) = f(x_2)$，则必有 $x_1 = x_2$。换句话说，每个元素在原集合中只能对应一元素在新集合中。例如，如果 $f: A \rightarrow B$ 是单射，则对于任意 $b \in B$，存在唯一的 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$ 。
满射是指对于任意 $b \in B$，至少存在一个 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$。换话说，每个元素在新集合中都有至少一个原集合中的元素与之对应。例如，如果 $f: A \rightarrow B$ 是满射，则对于任意 $b \in B$，存在至少一个 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$ 。
双射是指同时满足单射和满射的条件。这意味着每个元素在原集合中只能对应一个元素在新集合中，且每个元素在新集合中都有对应的元素在原集合中。例如，如果 $f: A \rightarrow B$ 是双射，则对于任意 $b \in B$，存在唯一的 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$，并且对于任意 $a \in A$，存在唯一的 $b \in B$ 使得 $f(a) = b$ 。
单射与满射的区别： 单强调的是唯一性，即不同的输入不能产生相同的输出；而满射强调的是覆盖性，即所有的输出都有至少一个输入能够产生。
双射的特点： 双射结合了单射和满射的特点，即它既是单射又是满射。因此，双射不仅保证了输入的唯一性，还保证了输出的全面性。
逆映射 双射的一个重要性质是存在唯一的逆映射。如果 $f: A \rightarrow B$ 是双射，则存在一个映射 $g: B \rightarrow A$，得 $g(f(a)) = a$ 对所有 $a \in A$ 成立，并且 $f(g(b)) = b$ 对所有 $b \in B$ 成立。
通过这些定义和性质我们可以更好地理解映射在数学中的应用及其重要性。
映射在计算机科学中有着广泛的应用，特别是在算法设计和数据结构中。以下是一些具体的应用：
函式编程：在函数式编程中，映射常被用作一种核心概念，允许将函数作为数据处理的一部分。例如，可以使用映射来转换列表中的每个元素。
算法设计：
迭代映射：在解决复杂问题或寻找函数的固定点时，迭代映射是一种重要的工具。它可以用来优化算法，提高计算效率，并解决各种数学和计算机科学问题。
其他应用：
在物理学中，映射概念的应用非常广泛，特别是在描述物理系统或现象时。以下是一些具体的例子和应用：
在量子力学中，正态映射和完全正态映射是描述量子系统变化的重要工具。这些映射最初由Stinespring在1955年提出，但其研究动机纯属数学领域，与量子物理无关。然而，Haag、Kastler、Hellwig和Kraus等人在1960年代引入了这些映射来描述外部预下量子系统的变化。例如，在量子计算、量子信息、量子纠缠检测以及量子系统的演化中，正态映射和完全正态映射被广泛应用。
在核聚变能源研究中，磁场线通常不遵循传统物理学教科书中描述的对称情况，而是以混沌方式行为这些磁场线实际上是哈密顿系统的轨迹。通过使用辛扭映射和非扭映射，可以描述磁场线的行为和不变涡环的破灭现象。这些映射在理解聚变装置中的磁场配置和重新连接现象方面具有重要意义。
共形映射是复变函数论中的一个重要概念，它将复杂区域转化为简单区域求解。这种映射在流体力学、空气动力学、弹性力、磁场、电场与热场理论等领域有重要应用。例如，共形映射成功地解决了许多实际问题，如亚音速及超音速飞机的研制。
n-范畴理论允许将物理过程表示为n维图，从而提供了一种抽象而直观的描述方法。这理论在广义相对论、量子力学、拓扑场理论和弦理论等更高维度概念中得到了广泛应用。例如，n-范畴理论提供了将量子力学与更广泛的物理理论联系起来的方法，用于描述更复杂的物理系统。
在非线性动力学和混沌理论中，映射被用于述系统的动态行为。例如，Logistic映射和洛伦兹方程中的周期窗口、扰动系列、相位、相差、相空间及其维度等概念都涉及映射的应用。这些映射帮助理解系统的稳定性和可塑性，以及吸引子的结构。
映射在数学模型中扮演着核心角色，能够描述力场、电场、磁场等物理现象，以及物体在空间中的运动轨迹。此外，映射还被用于描述微分方程的解，并统计学和概率论中用于描述随机变量之间的关系。
映射在经济学中的应用广泛，涉及多个领域和模型。以下是几个具体的实例及其对理解经济模型或市场行为的帮助：
分段线性映射模型被用于金融市动态的研究，特别是在分析固定点动态与混沌运动之间的转变以及政策微小调整对金融市场稳定性的影响方面。这类模型能够解释市场中极端价格变动和波动聚集现象，为理解牛市和熊市的产生提供了新视角。
映射技术在经济评价中用于估计效用并计算临床研究中的质量调整生命年（QALY）。通过将非偏好基线数据转换为效用数据，映射帮助建立基础基线与目标基线之间的关系，从而进行成本效用分析。这种方法要求估计数据集和研究数据集中有相似的人群，并且目标和基准测量之间应有高度重叠。
技术映射描述了生产结构，属于凸下类，并满足特定条件。通过数学推导和定理证明，这些映射揭示了经系统中的生产结构及其相关函数性质和条件，从而为理解经济模型提供了理论基础。
线性映射被用来描述经济行为和政策选择。例如，市场行为由一个线性映射定义，而政策选择由另一个线性映射定义。这两映射揭示了汇率浮动和利率反应的特性，并帮助计算最优政策规则。
在药经济学评价中，映射法用于获取健康效用值。通过计量模型建立非效用量表和效用量表之间的回归方程，映射法可以直接或间接预测健康效用值。这种方法特别适用于特定疾病和人群的测量。
映射理论也被应用于数据分析，以测量公司的数据量和确定数据的风险。通过比较平均产品利润率和公司利润率之间的差距，可以衡量一家公司的数据量。此外，映射还用于衡量特征负载，包括使用主成分分析和文本分析来衡量不同公司描述其产品的方式的相似性。
在适应性预期下，克罗布模型中的价格-数量行为可能表现出混沌的价格动态。非线性供给和需求曲线结合适应性预期导致价格-数量波动，为独立市场中的价格-数量波动提供了更现实的解释。
股票映射程通常比债券映射更简单，因为它不需要处理金融债券在剩余运行时间上的问题。市场模型通过市场投资组合的收益率解释个体的收益率，将股票的收益率建模为特定于股票的成分、特定于市场的成分和一个误差项之和。
这些实例表明，映射在经济学中具有多种应用，从金融市场动态分析到经济评价中的效用估计，再到生产结构和技术映射等。
映射理论在现代数学研究中扮演着至关重要的角色，尤其是在代数几何和拓扑学等领域中具有显著的重要性。
在代数领域，映射是研究代数结构的重要工具。例如，在群论中，通过映射可以定义群的子群和商群。此外，映射在定义同态和同构方面也起着关键作用，这有助于研究不同代数结构之间的关系。有限映射的概念在代数几何中也有重要应用，它与拓扑学中的覆盖映射有紧密联系，并且满足关键的几何性质。
在几何领域，映射用于描述空间变换，如旋转、平移和缩放。这变换不仅在理论研究中有广泛应用，也在实际应用中非常重要，例如在计算机图形学中用于描述物体的运动。
在拓扑学中，映射的概念同样至关重要。连续映射和同伦是拓扑学中研究空间连续性和可逆性的基本工具。此外，拓扑学中的过滤空间之间的映射自明概念以及固定点和反向映射等概念也展示了映射在拓扑学中的广泛应用。
映射理论不仅在上述领域中发挥着重要作用，还在泛函分析、非交换几何等其他数学分支中有着广泛的应用。例如，在泛函分析中，映射用于定义函数空间和算子理论；在非交换几何中，映射用于研究高维代数结构和相关概念。